35-38

35. Возможная работа внешних и внутренних сил с пояснениями всех входящих в формулы величин (понятия и формулы для расчета).

35. Возможная работа внешних и внутренних сил с пояснениями всех входящих в формулы величин (понятия и формулы для расчета).

Рассмотрим 2 состояния системы :

В первом состоянии система загружена i-ая

Возможная работа i-ого состояния при действии на перемещение точек их приложения вызван вызван действием сил К-ого может быть определена при рассмотрении определенно продольных, поперечных сил, изгиб, моментов аналогично как и работа действительная

36. Теорема о взаимности возможных работ.

Работа силы на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможное перемещение обозначим D_ij, а возможную работу W_ij (здесь i означает направление, а j – причину). Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.

Доказательство. Пусть на систему воздействуют силы P_i и P_j. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы:

1) прикладывается сила P_i, затем сила P_j (рис. 6.5 а);

2) прикладывается сила P_j, затем сила P_i (рис. 6.5 б).

Рис. 6.5

В этих состояниях силы на действительных перемещениях совершают действительные, а на возможных перемещениях – возможные работы. Выражения работ в обоих состояниях будут:

W_ij= P_iD_ii+ P_jD_jj+P_iD_ij;             W_ji= P_jD_jj+ P_iD_ii+P_jD_ji.  

На основании принципа суперпозиции результат воздействия этих сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно, обе работы равны: W_ij=W_ji. Отсюда получаем

                                               P_iD_ij=P_jD_ji .                                                                                       

Теорема доказана. Ее часто называют теоремой о взаимности работ.

37. Теорема о взаимности единичных перемещений.

Теорема Максвелла (теорема о взаимности единичных перемещений)

Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения системы, когда F₁=F₂=1. Очевидно, что при этом δ₁₂=δ₂₁.

Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого состояния.

38.  Формула для определения работы внутренних сил (с пояснением всех входя­щих в формулу величин).

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила P_i и вызывает внутренние усилия M_i, Q_i, N_i;

2) действует сила P_j, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

                D_Mj= dx,      D_Qj=m dx,   D_Nj= dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dW_ij=M_iD_Mj+Q_iD_Qj+N_iD_Nj= dx+m dx+ dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

                               –W_ij= dx .           

EI – жесткость при изгибе

GA – Жесткость при сдвиге

Е – модуль упругости характер физ параметры

Е – модуль упругости характер геометрич параметры

G- модуль сдвига

A- площадь сечения

EA –продольная жесткость